Booth Encoding vs. Non-Booth Multipliers —— 穿透 DC 架构看乘法器的底层博弈
目录
🧭 前言
🌱 1. Non-Booth 乘法器的实现原理（也叫常规乘法器）
🔧 构建方式
✍️ 例子：4x4 Non-Booth 乘法器示意
🧱 硬件结构
✅ 特点总结
⚡ 2. Booth Encoding（布斯编码）乘法器
🧠 核心思想
✨ 举例：Radix-4 Booth（每两位一组）
📐 Booth 操作编码表（Radix-4）
🔧 硬件结构简图
✅ 特点总结
🏛️ 3. 在 Synopsys DC 中的使用策略
默认行为：
控制变量：
🧪 4. 如何验证 DC 选择了哪种乘法器？
方法一：Datapath Debug Log
方法二：report datapath structure
🎯 总结
🔚 延伸阅读
🧭 前言
在 datapath 构建阶段，乘法器是最重要的资源单元之一。
-
面积最大
-
时序瓶颈集中
-
能力决定系统吞吐
而 Synopsys Design Compiler (DC) 在构建乘法器结构时，核心决策之一就是：
❓是否采用 Booth Encoding？
❓如果不采用，怎么构建标准 non-Booth 乘法器？
这并不是一个简单选择，而是涉及多个维度的性能平衡。我们现在就从最底层原理开始：
🌱 1. Non-Booth 乘法器的实现原理（也叫常规乘法器）
🔧 构建方式
假设我们要计算两个无符号 4-bit 数相乘：
A = a3 a2 a1 a0 B = b3 b2 b1 b0
我们需要构建如下的部分积（partial products）：
P0 = A * b0 --> A AND b0 (bitwise) P1 = A * b1 A AND b1, shift left 1 P2 = A * b2 A AND b2, shift left 2 P3 = A * b3 A AND b3, shift left 3
最终的乘法结果是：
Result = P0 + P1 + P2 + P3
也就是说，n-bit × n-bit 的 non-Booth 乘法器需要生成 n 个部分积，然后加起来。
✍️ 例子：4x4 Non-Booth 乘法器示意
假设：
A = 4'b1101 (13) B = 4'b1010 (10)
部分积：
P0 = 1101 & 0 = 0000 P1 = 1101 & 1 = 1101 | Shifter |-->| Shifter | +----------+ +----------+ +----------+ +----------+ | | | | +--------------+--------------+---------------+ | Multi-Adder Tree✅ 特点总结
维度 Non-Booth 部分积数量 n 个 面积 较大 延迟 多级加法器 符号位支持 需要扩展和修复 构建复杂度 中等 优点 实现简单，易调试 缺点 延迟长，乘法器大 ⚡ 2. Booth Encoding（布斯编码）乘法器
Booth 是一种对乘法输入进行重编码的方式，可以减少部分积数量，进而降低延迟与面积。
🧠 核心思想
原始每个位做部分积太浪费。
Booth 把乘数 B 分组，比如两个一组，做符号差分编码，从而一组表示 3 种操作：
00 → 0 01 → +A 10 → -A 11 → 0（或特殊处理）
这样就可以跳过很多 "0" 操作，生成更少部分积。
✨ 举例：Radix-4 Booth（每两位一组）
假设：
B = b3 b2 b1 b0 = 1001 (9) 扩展为 b4=0 组合： (b4,b3,b2), (b2,b1,b0) 组1: 010 → +A 组2: 100 → -2A
所以只生成两组：
-
+A shift by 2
-
-2A shift by 0
相比非 Booth 的 4 个部分积，这里只用 2 个！
📐 Booth 操作编码表（Radix-4）
组值 (x2, x1, x0) 操作 000 0 001 +A 010 +A 011 +2A 100 -2A 101 -A 110 -A 111 0 🔧 硬件结构简图
Booth Encoder → Booth Selector (0, +A, -A, +2A, -2A) ↓ Partial Products ↓ Adder Tree (Wallace or Dadda)✅ 特点总结
维度 Booth Encoding 部分积数量 减半：n/2 延迟 更短 面积 较小（加法器更深但数量少） 符号位支持 天然支持有符号数！ 实现复杂度 高（需要编码器+符号处理） 优点 高性能，面积节省，支持负数 缺点 实现复杂，调试难，corner case 多 🏛️ 3. 在 Synopsys DC 中的使用策略
Design Compiler 会在 datapath 构建阶段自动选择：
默认行为：
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有符号乘法 → Booth 优先
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目标路径在 critical timing path → Booth 强制使用
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常数乘法 → 不用 Booth，而是移位+加法特化
控制变量：
set_app_var datapath_enable_booth true
更精细控制：
set_app_var datapath_prefer_booth_multiplier true set_app_var datapath_force_non_booth_multiplier false
你也可以用 constraint 引导：
set_multicycle_path -from A -to B -prefer_booth
🧪 4. 如何验证 DC 选择了哪种乘法器？
方法一：Datapath Debug Log
set_app_var datapath_debug_level 5 compile_design
会看到 log 中出现：
Info: Booth encoding applied to multiplier A * B
或
Warning: Fallback to non-Booth multiplier due to bit width mismatch
方法二：report datapath structure
report_datapath -design my_block
会显示 multiplier 类型和数量。
🎯 总结
比较维度 Non-Booth Booth 部分积数量 n n/2 结构复杂度 中等 高（需要编码器） 支持负数 手动符号扩展 ✅天然支持 面积 较大 较小 延迟 多级累加 更少级数 调试 简单 较复杂（corner case 多） 🧠 在时序收敛关键路径或 DSP 优化目标中，Booth 是你最好的朋友。
🛠 在低位宽、功耗优先或 RTL级测试场景中，Non-Booth 更易用、可控、可验证。
🔚 延伸阅读
📙《终结乘法瓶颈！带你彻底掌握 Booth Encoding 的秘密与架构》
📘《Non-Booth 乘法器的全解析：从 RTL 表达式到部分积压缩的完整路径》
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