深入探究升余弦滚降滤波器，及其用作匹配滤波（MATLAB的rcosdesign函数使用）

目录

一、rcosdesign函数设计升余弦脉冲或平方根升余弦脉冲

a)平方根升余弦脉冲

b)升余弦脉冲

c)根据函数表达式编写MATLAB：

二、脉冲调制的无符号间干扰(ISI)。

a)脉冲波形成

b)单极到双极（幅度调制）

c)脉冲调制

d)脉冲整形（传递滤波）

三、经过升余弦滚降滤波器后的眼图

a)滚降因子为1时的眼图：

b)滚降因子为0.75时的眼图：

c)滚降因子为0.25时的眼图：

d)四元幅度调制

四、匹配滤波

一对rcosdesign函数进行介绍并绘制波形，根据升余弦脉冲函数表达式编写MATLAB代码；

二介绍了脉冲调制，即一串脉冲序列与升余弦脉冲进行卷积，并通过波形图展示符号间无ISI；

三对不同滚降因子的升余弦脉冲眼图进行了描述；

四对匹配滤波进行简要说明，介绍了平方根升余弦脉冲（rrc）在通信系统中的应用。

一、rcosdesign函数设计升余弦脉冲或平方根升余弦脉冲

        可以使用MATLAB函数rcosdesign来生成升余弦脉冲或平方根升余弦脉冲。

       b = rcosdesign(beta,span,sps) 返回系数 b，该系数对应于具有由 beta 指定的衰减因子的平方根升余弦 FIR 滤波器。滤波器被截断在 span 个符号范围内，并且每个符号周期都包含 sps 个样本。 滤波器的阶次，即 sps * span 必须是偶数。滤波器的能量为 1。

        b = rcosdesign(beta,span,sps,shape) 当将 shape 设置为"sqrt"时，将返回根升余弦滤波器，见(a)；当将 shape 设置为 "normal" 时，将返回升余弦FIR 滤波器，见(b)。

a)平方根升余弦脉冲

        用一个例子说明：假设符号周期为1秒(Ts=1)。beta=0.25,span=6,sps=9,shape="sqrt"：

• beta=0.25即滚变因子为0.25；
• span=6即跨越6个符号；
• sps=9即每个符号周期包含9个样本；
• shape="sqrt"即为平方根升余弦脉冲。

  MATLAB代码如下：

  Ts = 1; % 码元周期
  % 单个符号范围的采样个数。
  L = 9; %每个符号周期包含9个样本
  r = 0.25; %滚降系数
  t = -3:Ts/L:3; % 时间向量
  pt = rcosdesign(r,6,L,'sqrt');%返回一个平方根升余弦滤波器。跨越6个符号

  效果图和对图的解释如下：

  

  解释：rcosdesign的第二个参数span为6，绿色①-⑥为横跨6个符号，rcosdesign的第三个参数sps为9，每个符号有9个点，例如①中有9个点。

  可以看到成型脉冲在0*Ts的位置上有值，同时在其他整数*Ts上成型脉冲的值不为0，即有ISI。（即横坐标时间为-3、-2、-1、0、1、2、3的位置上，函数值都不为0）

  b)升余弦脉冲

  将rcosdesign(r,6,L,'sqrt')中的sqrt改为rcosdesign(r,6,L,'normal')，绘制如下图：

  • beta=0.25即滚变因子为0.25；
  • span=6即跨越6个符号；
  • sps=9即每个符号周期包含9个样本；
  • shape="normal"即为升余弦脉冲。

    

    解释：可以看到成型脉冲在0*Ts的位置上有值，同时在其他整数*Ts上成型脉冲的值为0，即无ISI。（即横坐标时间为-3、-2、-1、0、1、2、3的位置上，除了0位置上函数值不为0，其他位置上的值为0）

    c)根据函数表达式编写MATLAB：

    升余弦滚降滤波器的函数为：

    

    用MATLAB进行编写平方根升余弦滚降函数，代码中HR为升余弦滚降函数的频域，GR和GT即为平方根升余弦滚降的频域：

    %平方根升余弦滚降函数
    hr1=sin(pi*t/Ts)./(pi*t/Ts);
    hr2=cos(alpha*pi*t/Ts)./(1-(2*alpha*t/Ts).^2);
    hr=hr1.*hr2;
    HR=abs(t2f(hr));
    GT=sqrt(HR);
    GR=GT;
    function X=t2f(x)
    global dt N
    H=fft(x);
    X=[H(N/2+1:N),H(1:N/2)]*dt;
    end

    二、脉冲调制的无符号间干扰(ISI)。

            脉冲调制时（即符号传输），需脉冲整形（插入0进行上采样）后与升余弦滚降滤波器卷积能实现无符号间干扰(ISI)。（注：以下是升余弦滚降滤波器（RC），不是根升余弦滚降滤波器（RRC））

    a)脉冲波形成

            生成一个升余弦脉冲。

    Ts = 1; % symbol duration
    L = 9;
    span = 6;
    r = 0.25; % Roll-off factor
    t_step = Ts/L;
    pt = rcosdesign(r,span,L,'normal');

    b)单极到双极（幅度调制）

            当𝑛th信息为1时，设置𝛼𝑛=1，当𝑛th信息为0时，我们设置𝛼𝑛=−1。即实现单极性变为双极性。即0 => -1, 1 => 1。

    Ns = 2;%2个bit需要传输
    data_bit =[0 1];
    amp_modulated = 2*data_bit-1; % 0 => -1, 1 => 1

    c)脉冲调制

            将信息每两个bit之间插入8个（L-1）个0。因为之后需要与升余弦滚降滤波器（脉冲成型滤波器）卷积，而升余弦滚降滤波器（脉冲成型滤波器）每个符号周期包含9个样本。

    impulse_modulated = [];
    for n = 1:Ns
        num_zeros =L-1;%延迟8bit，因为单个符号范围的采样个数为9
        delta_signal = [amp_modulated(n) zeros(1, num_zeros)];
        impulse_modulated = [impulse_modulated delta_signal];
    end

    d)脉冲整形（传递滤波）

            将脉冲调制（插入0）的信号与成型滤波器卷积。

    tx_signal = conv(impulse_modulated, pt);

    绘制图形如下：

    

    解释：可以看到脉冲调制的波形，双极性、插入0；脉冲成型的波形，无码间串扰ISI。

    因一个升余弦滤波器跨越6个符号，所以在抽样判决时​​​​​​需要去掉3个码元和后3个码元。即从0-2,5-8都不要了。

    

    三、经过升余弦滚降滤波器后的眼图

            使用升余弦滤波器绘制眼图的部分关键代码如下。

    t_step = Ts/L;%相邻采样点之间的间隔
    Ns = 1000;%Ns为总信息bit数量
    pt = rcosdesign(r,span,L,'normal');
    figure
    for k = 1:floor(Ns/3) % k是三个连续符号部分的索引。Ns为总信息bit数量
        tmp = tx_signal(  ((k-1)*3*L + 1) : k*3*L  ); %第k个连续的符号部分(波形)。
        plot(t_step*(0:(3*L-1)), tmp);
        axis([0 3 min(tx_signal) max(tx_signal)]);
        grid on; 
        hold on
        % pause  % 需要按下一个键继续绘图，或者您可以选择common out“暂停”，以一键查看最终结果。
    end

            使用for循环进行绘制眼图，眼睛图是由持续3个连续符号周期的传输信号的样本绘制的。

    下面比较不同滚降系数的眼图。

    a)滚降因子为1时的眼图：

    

    b)滚降因子为0.75时的眼图：

    

    c)滚降因子为0.25时的眼图：

    

    可以看到无论滚降因子是多少，在整数位置上，取值只有约为±0.37两种，对应的符号0和1。

    结论：滚降系数α越大,升余弦滚降波形h(t)的拖尾衰减越快,对位定时精度要求越低。但是,滚降使带宽增大为,所以频带利用率降低。

    

    d)四元幅度调制

            四元幅度调制：每个升余弦脉冲可以由四个不同的幅度调制。即每个符号的振幅为±1和±3。代码如下：

    Ns = 1000;
    data_bit = round(rand(1,Ns*2));%2000个
    amp_modulated= 2*(2*data_bit(1:2:end)+data_bit(2:2:end)-1.5);    

    滚降因子为0.5时，得到的眼图：

    

    滚降因子为1时，得到的眼图：

    

    可以看到无论滚降因子是多少，在整数位置上，取值只有约为四种，对应的符号为±1和±3。

    四、匹配滤波

    匹配滤波器：​​​​​​​使滤波器输出的信噪比在某一特定时刻达到最大，即接收端的信号强度与噪音强度的比值最大。对匹配滤波的理解可见：通信原理第3章 3.14匹配滤波器 - 知乎升余弦和根升余弦滤波器(SRRC,RRC)的单位脉冲响应-CSDN博客

    在信号处理中，根升余弦滤波器(Raised-cosine filter, RRC )，也称平方根升余弦滤波器( square-root-raised-cosine filter,SRRC )，在数字通信系统中用作发送和接收滤波器，来进行匹配滤波。是升余弦滤波器频率响应的平方根。

    

    符号为[-3,1,-1,-3,3]，每个符号采样16个点，每个符号的脉冲成型波形跨越前后各4个符号。发射滤波器和匹配滤波器均为根升余弦滤波器。

    clear;
    close all;clc;
    R=0.3; % roll-off factor
    delay=4; % the group delay of the filter
    sps=16; % oversampling factor
    sym=[-3,1,-1,-3,3]; % symbol
    len_x=length(sym);
    xx=zeros(1,(len_x+2*delay)*sps);
    for ii=delay+1:len_x+delay
        xx((ii-1)*sps+1)=sym(ii-delay); % oversampling 
    end
    h_rrc=rcosdesign(R,2*delay,sps,'sqrt'); % RRC filter
    % h_rrc=h_rrc./sqrt(mean(h_rrc.^2));
    % hs=h_rrc./max(h_rrc); % Amplitude Normalized
    figure;plot(-delay:1/sps:delay,h_rrc);grid on;
    send=conv(xx,h_rrc); % filter with RRC at the transmitter
    send=send(delay*sps+1:end-delay*sps); % remove the delay
    recv=conv(send,h_rrc); % filter with RRC at the receiver
    recv=recv(delay*sps+1:end-delay*sps); % remove the delay
    

    下图为经过发射滤波器后（即经过一次平方根升余弦滚降滤波器）

    

    下图为经过匹配滤波器后（即经过两次平方根升余弦滚降滤波器）

    

    解释：从图 1可以看出，滤波后波形在最佳采样点处的值并不等于采样点的值（即平方根升余弦滚降滤波器（RRC Filter）在处取值并不为零）。而经过接收端匹配滤波后，波形在最佳采样点处的值正好是发送符号的幅度值，这说明经过匹配滤波后ISI得到缓解。