【C++经典例题】杨辉三角问题

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            ⏩ 文章专栏：C++经典例题

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目录

一、问题描述

二、解题思路

解法 1 思路

解法 2 思路

三、代码实现

解法 1 代码

解法 2 代码

四、总结

“杨辉三角” 问题是一道经典的算法题目，它不仅考验对数组操作的熟练程度，还需要深入理解杨辉三角的数学特性。

本文将详细介绍该问题的描述、解题思路以及两种不同的代码实现方案。

一、问题描述

给定一个非负整数 numRows，要求生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

例如，当 numRows = 5 时，生成的杨辉三角如下：

[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]

 杨辉三角只是在逻辑上想象为一个等腰三角形

在计算机中实际存储，其实是这样的：

二、解题思路

解法 1 思路

初始化结果数组：

• 首先创建一个二维向量 result，也就是vector，它的大小为 numRows，这将用于存储杨辉三角的每一行。
• 内层vector的大小根据行号 i 来确定，第 i 行有 i + 1 个元素。并且将每一行的所有元素初始化为 1，这是因为杨辉三角每一行的首尾元素都是 1

   

  计算中间元素：

  • 从第三行（索引为 2）开始，因为前两行已经全部初始化为 1，不需要额外计算。
  • 对于每一行的中间元素（索引 j 从 1 到该行元素个数减 2），其值等于上一行同一列的元素 result[i - 1][j - 1] 加上上一行前一列的元素 result[i - 1][j]。通过两层循环，外层循环控制行数，内层循环控制每行的元素位置，从而完成杨辉三角的生成。

     

    解法 2 思路

    处理边界情况：

    • 首先首先创建一个二维向量 result，vector,检查输入的 numRows 是否为 0，如果是，则直接返回空的 vectot result ，因为不需要生成任何行。
    • 接着处理 numRows 为 1 的情况，将第一行 [1] 直接添加到 result 中并返回。

       

      初始化前两行：

      • 当 numRows 大于 1 时，先将第一行 [1] 和第二行 [1, 1] 添加到 result 中。

         

        生成后续行：

        （当numRows超过2时，才需要计算） 

        • 从第三行（索引为 2）开始生成。
        • 对于每一行，首先创建一个大小为 i + 1 的vector row。
        • 明确每行的首元素 row[0] 和尾元素 row[i] 都为 1。
        • 对于中间元素（索引 j 从 1 到 i - 1），其值同样通过上一行对应位置的元素相加得到，即 row[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j]。最后将生成的行 row 添加到 result 中。

           

          三、代码实现

          解法 1 代码

          class Solution1 
          {
              public:
              vector generate(int numRows) 
              {
                  vector result(numRows, vector());
                  for (int i = 0; i  
          解法 2 代码
           
          class Solution2 
          {
          public:
              vector generate(int numRows) 
              {
                  vector result;
                  if (numRows == 0) return result;
                  // 处理第一行
                  result.push_back({ 1 });
                  if (numRows == 1) return result;
                  // 处理第二行
                  result.push_back({ 1, 1 });
                 
                  // 从第三行开始生成
                  for (int i = 2; i  
          四、总结
           
          这两种解法都通过对杨辉三角特性的理解，利用循环和数组操作来生成所需的杨辉三角。
           
          解法 1 相对更简洁，通过一次初始化所有行并填充首尾元素为 1，再集中计算中间元素。
           
          解法 2 则更具逻辑性，逐步处理每一行，先处理边界情况，再依次生成后续行。
           
          两种解法在时间复杂度和空间复杂度上基本相同，时间复杂度为 O(numRows^2))，因为需要遍历杨辉三角的每一个元素；
           
          空间复杂度同样为 (O(numRows^2))，用于存储生成的杨辉三角。
           
          通过对这道题目的深入分析和实现，能够有效提升对数组操作和算法设计的能力。